1. 10.4 线性回归的损失和优化

1.1. 学习目标

知道线性回归中损失函数
知道使用正规方程对损失函数优化的过程
知道使用梯度下降法对损失函数优化的过程

假设刚才的房子例子，真实的数据之间存在这样的关系：

真实关系：
真实房子价格 = 0.02×中心区域的距离 + 0.04×城市一氧化氮浓度 + (-0.12×自住房平均房价) + 0.254×城镇犯罪率

那么现在呢，我们随意指定一个关系（猜测）

随机指定关系：
预测房子价格 = 0.25×中心区域的距离 + 0.14×城市一氧化氮浓度 + 0.42×自住房平均房价 + 0.34×城镇犯罪率

请问这样的话，会发生什么？真实结果与我们预测的结果之间是不是存在一定的误差呢？类似这样样子

既然存在这个误差，那我们就将这个误差给衡量出来

1.2. 1 损失函数

总损失定义为：

yi为第i个训练样本的真实值
h(xi)为第i个训练样本特征值组合预测函数
又称最小二乘法

如何去减少这个损失，使我们预测的更加准确些？既然存在了这个损失，我们一直说机器学习有自动学习的功能，在线性回归这里更是能够体现。这里可以通过一些优化方法去优化（其实是数学当中的求导功能）回归的总损失！！！

1.3. 2 优化算法

如何去求模型当中的W，使得损失最小？（目的是找到最小损失对应的W值）

线性回归经常使用的两种优化算法
- 正规方程
- 梯度下降法

1.3.1. 2.1 正规方程

2.1.1 什么是正规方程

理解：X为特征值矩阵，y为目标值矩阵。直接求到最好的结果

缺点：当特征过多过复杂时，求解速度太慢并且得不到结果

2.1.2 正规方程求解举例

以下表示数据为例：

即：

运用正规方程方法求解参数：

2.1.3 正规方程的推导

推导方式：

把该损失函数转换成矩阵写法：

其中y是真实值矩阵，X是特征值矩阵，w是权重矩阵

把损失函数分开书写： $(Xw-y)^2=(Xw-y)^T(Xw-y)$ 对展开上式进行求导：

需要求得求导函数的极小值，即上式求导结果为0，经过化解，得结果为： $X^TXw=X^Ty$ 经过化解为： $w=(X^TX)^{-1}X^Ty$

补充：需要用到的矩阵求导公式：

$\frac{dx^TA}{dx}=A$

$\frac{dAx}{dx}=A^T$

1.3.2. 2.2 梯度下降

2.2.1 什么是梯度下降

梯度下降法(Gradient Descent)的基本思想可以类比为一个下山的过程。

假设这样一个场景：

一个人被困在山上，需要从山上下来(i.e. 找到山的最低点，也就是山谷)。但此时山上的浓雾很大，导致可视度很低。

因此，下山的路径就无法确定，他必须利用自己周围的信息去找到下山的路径。这个时候，他就可以利用梯度下降算法来帮助自己下山。

具体来说就是，以他当前的所处的位置为基准，寻找这个位置最陡峭的地方，然后朝着山的高度下降的地方走，（同理，如果我们的目标是上山，也就是爬到山顶，那么此时应该是朝着最陡峭的方向往上走）。然后每走一段距离，都反复采用同一个方法，最后就能成功的抵达山谷。

梯度下降的基本过程就和下山的场景很类似。

首先，我们有一个可微分的函数。这个函数就代表着一座山。

我们的目标就是找到这个函数的最小值，也就是山底。

根据之前的场景假设，最快的下山的方式就是找到当前位置最陡峭的方向，然后沿着此方向向下走，对应到函数中，就是找到给定点的梯度 ，然后朝着梯度相反的方向，就能让函数值下降的最快！因为梯度的方向就是函数值变化最快的方向。所以，我们重复利用这个方法，反复求取梯度，最后就能到达局部的最小值，这就类似于我们下山的过程。而求取梯度就确定了最陡峭的方向，也就是场景中测量方向的手段。

2.2.2 梯度的概念

梯度是微积分中一个很重要的概念

在单变量的函数中，梯度其实就是函数的微分，代表着函数在某个给定点的切线的斜率；
在多变量函数中，梯度是一个向量，向量有方向，梯度的方向就指出了函数在给定点的上升最快的方向；
- 在微积分里面，对多元函数的参数求∂偏导数，把求得的各个参数的偏导数以向量的形式写出来，就是梯度。

这也就说明了为什么我们需要千方百计的求取梯度！我们需要到达山底，就需要在每一步观测到此时最陡峭的地方，梯度就恰巧告诉了我们这个方向。梯度的方向是函数在给定点上升最快的方向，那么梯度的反方向就是函数在给定点下降最快的方向，这正是我们所需要的。所以我们只要沿着梯度的反方向一直走，就能走到局部的最低点！

2.2.3 梯度下降举例

1. 单变量函数的梯度下降

我们假设有一个单变量的函数 :J(θ) = θ2

函数的微分:J、(θ) = 2θ

初始化，起点为： θ0 = 1

学习率：α = 0.4

我们开始进行梯度下降的迭代计算过程:

如图，经过四次的运算，也就是走了四步，基本就抵达了函数的最低点，也就是山底

2.多变量函数的梯度下降

我们假设有一个目标函数：:J(θ) = θ12 + θ22

现在要通过梯度下降法计算这个函数的最小值。我们通过观察就能发现最小值其实就是 (0，0)点。但是接下来，我们会从梯度下降算法开始一步步计算到这个最小值! 我们假设初始的起点为: θ0 = (1, 3)

初始的学习率为:α = 0.1

函数的梯度为:▽:J(θ) =< 2θ1 ,2θ2>

进行多次迭代:

我们发现，已经基本靠近函数的最小值点

2.2.4 梯度下降公式

1) α是什么含义？

α在梯度下降算法中被称作为学习率或者步长，意味着我们可以通过α来控制每一步走的距离，以保证不要步子跨的太大扯着蛋，哈哈，其实就是不要走太快，错过了最低点。同时也要保证不要走的太慢，导致太阳下山了，还没有走到山下。所以α的选择在梯度下降法中往往是很重要的！α不能太大也不能太小，太小的话，可能导致迟迟走不到最低点，太大的话，会导致错过最低点！

2) 为什么梯度要乘以一个负号？

梯度前加一个负号，就意味着朝着梯度相反的方向前进！我们在前文提到，梯度的方向实际就是函数在此点上升最快的方向！而我们需要朝着下降最快的方向走，自然就是负的梯度的方向，所以此处需要加上负号

我们通过两个图更好理解梯度下降的过程

所以有了梯度下降这样一个优化算法，回归就有了"自动学习"的能力

优化动态图演示

1.4. 3 梯度下降和正规方程的对比

1.4.1. 3.1 两种方法对比

梯度下降	正规方程
需要选择学习率	不需要
需要迭代求解	一次运算得出
特征数量较大可以使用	需要计算方程，时间复杂度高O(n3)

经过前面的介绍，我们发现最小二乘法适用简洁高效，比梯度下降这样的迭代法似乎方便很多。但是这里我们就聊聊最小二乘法的局限性。

首先，最小二乘法需要计算X

T

X的逆矩阵，

有可能它的逆矩阵不存在

，这样就没有办法直接用最小二乘法了。
- 此时就需要使用梯度下降法。当然，我们可以通过对样本数据进行整理，去掉冗余特征。让XTX的行列式不为0，然后继续使用最小二乘法。
第二，当样本特征n非常的大的时候，计算X

T

X的逆矩阵是一个非常耗时的工作（n x n的矩阵求逆），甚至不可行。
- 此时以梯度下降为代表的迭代法仍然可以使用。
- 那这个n到底多大就不适合最小二乘法呢？如果你没有很多的分布式大数据计算资源，建议超过10000个特征就用迭代法吧。或者通过主成分分析降低特征的维度后再用最小二乘法。
第三，如果拟合函数不是线性的，这时无法使用最小二乘法，需要通过一些技巧转化为线性才能使用，此时梯度下降仍然可以用。
第四，以下特殊情况，。
- 当样本量m很少，小于特征数n的时候，这时拟合方程是欠定的，常用的优化方法都无法去拟合数据。
- 当样本量m等于特征数n的时候，用方程组求解就可以了。
- 当m大于n时，拟合方程是超定的，也就是我们常用与最小二乘法的场景了。

1.4.2. 3.2 算法选择依据

小规模数据：
- 正规方程：LinearRegression(不能解决拟合问题)
- 岭回归
大规模数据：
- 梯度下降法：SGDRegressor

经过前面介绍，我们发现在真正的开发中，我们使用梯度下降法偏多（深度学习中更加明显），下一节中我们会进一步介绍梯度下降法的一些原理。

1.5. 4 小结

损失函数【知道】
- 最小二乘法
线性回归优化方法【知道】
- 正规方程
- 梯度下降法
正规方程 -- 一蹴而就【知道】
- 利用矩阵的逆,转置进行一步求解
- 只是适合样本和特征比较少的情况
梯度下降法 — 循序渐进【知道】
- 梯度的概念
  - 单变量 -- 切线
  - 多变量 -- 向量
- 梯度下降法中关注的两个参数
  - α -- 就是步长
    - 步长太小 -- 下山太慢
    - 步长太大 -- 容易跳过极小值点(*)
  - 为什么梯度要加一个负号
    - 梯度方向是上升最快方向,负号就是下降最快方向
梯度下降法和正规方程选择依据【知道】
- 小规模数据：
  - 正规方程：LinearRegression(不能解决拟合问题)
  - 岭回归
- 大规模数据：
  - 梯度下降法：SGDRegressor

10.4 线性回归的损失和优化